3D Geometria classe 12 notas pdf download

Notas da Aula 12 de Geometria 3D Download do PDF

Você está procurando um guia abrangente e conciso para aprender geometria 3D para a classe 12? Você quer dominar os conceitos e fórmulas da geometria 3D com facilidade e confiança? Se sim, então você veio ao lugar certo. Neste artigo, forneceremos as melhores anotações da aula de geometria 3D 12 que você pode baixar gratuitamente em formato PDF.

A geometria 3D é um ramo da matemática que lida com o estudo de formas, objetos e figuras no espaço tridimensional. É uma extensão da geometria bidimensional que você aprendeu na aula 11. A geometria 3D tem muitas aplicações em vários campos, como engenharia, arquitetura, design, computação gráfica, astronomia etc.

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Na aula 12, você aprenderá sobre os seguintes tópicos em geometria 3D:

Cossenos de direção e razões de direção de uma linha

Equações de uma reta no espaço

Equações de um plano no espaço

Neste artigo, explicaremos cada tópico em detalhes com definições, fórmulas, exemplos e exercícios. Também forneceremos algumas dicas e truques para resolver os problemas de maneira mais rápida e fácil. Ao ler estas notas, você será capaz de entender os conceitos com clareza e obter uma boa pontuação em seus exames.

Cossenos de direção e razões de direção de uma linha

Nesta seção, aprenderemos sobre os cossenos de direção e as razões de direção de uma linha no espaço 3D. Esses são conceitos importantes que nos ajudam a descrever a orientação e a direção de uma linha.

Definição e notação de cossenos de direção e razões de direção

Considere uma linha L passando pela origem O no espaço 3D. Sejam α, β e γ os ângulos que L faz com as direções positivas do eixo x, eixo y e eixo z, respectivamente. Esses ângulos são chamados de ângulos de direção de L.

Os cossenos desses ângulos são chamados de cossenos de direção de L.Eles são denotados por l, m e n, respectivamente. Aquilo é,

l = cos α

m = cos β

n = cos γ

Os cossenos diretores satisfazem a seguinte relação:

l + m + n = 1

Isto é porque cos α + cos β + cos γ = 1, que é uma identidade trigonométrica.

Se invertermos a direção de L, os ângulos de direção se tornarão π - α, π - β e π - γ, respectivamente. Portanto, os cossenos de direção se tornam -l, -m e -n, respectivamente. Portanto, uma linha tem dois conjuntos de cossenos de direção, que são opostos em sinal.

Os cossenos de direção também estão relacionados à inclinação da linha. Se a, b e c são as inclinações de L ao longo do eixo x, eixo y e eixo z, respectivamente, então temos:

l = a/(a + b + c)

m = b/(a + b + c)

n = c/(a + b + c)

Os números a, b e c são chamados de relações de direção de L. Eles não são únicos, pois podem ser multiplicados por qualquer constante diferente de zero e ainda representam a mesma linha. No entanto, os cossenos de direção são únicos, pois são normalizados pela divisão pela magnitude do vetor.

Relação entre cossenos de direção e razões de direção

Podemos resumir a relação entre cossenos de direção e razões de direção da seguinte forma:

Cossenos de DireçãoRazões de Direção

Cossenos dos ângulos formados pela reta com os eixos coordenadosInclinações da linha ao longo dos eixos coordenados

Determinado até um sinalDeterminado até um múltiplo escalar

Satisfazer l + m + n = 1Nenhuma tal condição

Se l, m e n são cossenos de direção, então k*l, k*m e k*n não são (a menos que k = 1)Se a, b e c são razões de direção, então k*a, k*b e k*c também são razões de direção (para qualquer k diferente de zero)

Se l, m e n são cossenos de direção, então a = l*(a + b + c) , b = m*(a + b + c) , e c = n*(a + b + c) são razões de direção Se a, b e c são razões de direção, então l = a/(a + b + c) , m = b/(a + b + c) , e n = c/(a + b + c) são cossenos de direção

O vetor diretor da reta é dado por v = l*i + m*j + n*k , onde i, j e k são vetores unitários ao longo dos eixos coordenados O vetor diretor da reta é dado por v = a*i + b*j + c*k , onde i, j e k são vetores unitários ao longo dos eixos coordenados

A magnitude do vetor de direção é 1 A magnitude do vetor de direção é (a+bb+ 2c^c)

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